Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E和点F，连接CD、BD．

（1）求证：∠A＝2∠BDF；

（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1

【解析】

（1）连接AD，如图，利用圆周角定理得∠ADB=90°，利用切线的性质得OD⊥DF，则根据等角的余角相等得到∠BDF=∠ODA，所以∠OAD=∠BDF，然后证明∠COD=∠OAD得到∠CAB=2∠BDF；
（2）连接BC交OD于H，如图，利用垂径定理得到OD⊥BC，则CH=BH，于是可判断OH为△ABC的中位线，所以OH=1.5，则HD=1，然后证明四边形DHCE为矩形得到CE=DH=1．

（1）证明：连接AD，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵EF为切线，

∴OD⊥DF，

∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，

∴∠BDF＝∠ODA，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠OAD＝∠BDF，

∵D是弧BC的中点，

∴∠COD＝∠OAD，

∴∠CAB＝2∠BDF；

（2）解：连接BC交OD于H，如图，

∵D是弧BC的中点，

∴OD⊥BC，

∴CH＝BH，

∴OH为△ABC的中位线，

∴，

∴HD＝2.5－1.5＝1，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴四边形DHCE为矩形，

∴CE＝DH＝1．