题目内容
观察下列图形：
如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：
（1）设第n个图形和第n-1个图形中所有三角形的个数分别为an、an-1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式．
（2）请你用含n的代数式来表示an，并证明你的结论．
分析：（1）在一个三角形中，若增加一个小三角形，则原三角形变成了5个，而①中共有5个三角形，②中共有17个三角形，即在5个的基础上增加了三个三角形变成了17个，进而可依据三角形的个数得出其内在关系，即3n+2；
（2）通过推理得出an的代数式，再证明结论的正确性．
（2）通过推理得出an的代数式，再证明结论的正确性．
解答：解：（1）按题中图形的排列规律可得：an=3an-1+2．
（2）由（1）得：an=3an-1+2，an-1=3an-2+2，两式相减得：
an-an-1=3（an-1-an-2）①
当n分别取3、4、5、n时，由①式可得下列（n-2）个等式：
a3-a2=3（a2-a1），a4-a3=3（a3-a2），a5-a4=3（a4-a3），
an-an-1=3（an-1-an-2）．
显然an-an-1≠0，以上（n-2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：
an-an-1=3n-2（a2-a1）②
∵a2-a1=17-5=12，由（1）又可知an-1=
（an-2），
将它们代入②式即得：an=2×3n-1．
（2）由（1）得：an=3an-1+2，an-1=3an-2+2，两式相减得：
an-an-1=3（an-1-an-2）①
当n分别取3、4、5、n时，由①式可得下列（n-2）个等式：
a3-a2=3（a2-a1），a4-a3=3（a3-a2），a5-a4=3（a4-a3），
an-an-1=3（an-1-an-2）．
显然an-an-1≠0，以上（n-2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：
an-an-1=3n-2（a2-a1）②
∵a2-a1=17-5=12，由（1）又可知an-1=
| 1 |
| 3 |
将它们代入②式即得：an=2×3n-1．
点评：本题主要考查了图形变化的一般规律问题，能够通过观察，掌握其内在规律，并能通过证明得出结论的正确性．
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按如图所示的规律用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，并解答下面问题：
（1）将下表填写完整
| 图形编号 | （1） | （2） | （3） | （4） | … |
| 黑色瓷砖的块数 | 10 | 14 | 18 | ______ | … |
| 白色瓷砖的块数 | 2 | 6 | 12 | ______ | … |
（2）第（n）个图形中，共有黑色瓷砖______块，共有白色瓷砖______块；（用含n的代数式表示，答案直接写在题中横线上）；
（3）如果每块黑色瓷砖12元每块白瓷砖10元，求购买铺设第（8）个图形所需瓷砖的费用；
（4）是否存在第（n）个图形，该图形所需白、黑瓷砖的总数为18325块？若存在，求出该图形的编号n；若不存在，请说明理由．
