题目内容
【题目】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设S＝1+2+3+…+100 ①
则S＝100+99+98+…+1 ②
①+②，得（即左右两边分别相加）：
2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1），
＝
，
＝100×101，
所以，S＝
③，
所以，1+2+3+…+100＝5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．请你利用“倒序相加法”解答下面的问题．
（1）计算：1+2+3+…+101；
（2）请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：1+2+3+…+n＝ ；
（3）至少用两种方法计算：1001+1002+…+2000．
方法1：
方法2：
【答案】（1）5151；（2）
，（3）见解析.
【解析】
（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值；
（2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果；
（3）根据题目中的例子可以用两种方法求出所求式子的值
（1）设S＝1+2+3+…+101①，
则S＝101+100+…+3+2+1②，
①+②，得
2S＝102+102+102+…+102＝101×102，
∴S＝
＝5151，
即1+2+3+…+101＝5151；
（2）猜想：1+2+3+…+n＝，
故答案为：；
（3）方法一：1001+1002+…+2000
＝（1+2+3+…+2000）﹣（1+2+3+…+1000）
＝
﹣
＝2001000﹣500500
＝1500500；
方法2：设S＝1001+1002+…+2000，
则S＝2000+1999+…+1001，
两式相加，得
2S＝1000×3001，
则S＝
＝1500500，
即1001+1002+…+2000＝1500500．
