Question

红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量y₁（件）与时间t（天）的关系如图所示；未来40天内，每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y₂=

1 4 t+25(1≤t≤20) - 1 2 t+40(21≤t≤40)

（t为整数）；
（1）求日销售量y₁（件）与时间t（天）的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件商品就捐赠a元（a为定值）利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，第18天的时候，扣除捐赠后日销售利润为这20天中的最大值，求a的值．

Answer 1

分析：（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值．

解答：解：（1）设一次函数为y=kt+b，
将（30，36）和（10，76）代入一次函数y=kt+b中，
有

36=30k+b 76=10k+b

，
解得：

k=-2 b=96

．
故所求函数解析式为y=-2t+96；

（2）设前20天日销售利润为W₁元，后20天日销售利润为W₂元．
由W₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20）
=（-2t+96）（

1

4

t+5）
=-

1

2

t²+14t+480
=-

1

2

（t-14）²+578，
∵1≤t≤20，
∴当t=14时，W₁有最大值578（元）．
由W₂=（-2t+96）（-

1

2

t+40-20）
=（-2t+96）（-

1

2

t+20）
=t²-88t+1920
=（t-44）²-16．
∵21≤t≤40，此函数对称轴是t=44，
∴函数W₂在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．
∴当t=21时，W₂有最大值为（21-44）²-16=529-16=513（元）．
∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；

（3）由题意得：W=（-2t+96）（

1

4

t+25-a）（1≤t≤20），配方得：
W=-

1

2

[t-2（a+7）]²+2（a-17）²（1≤t≤20）
∵a为定值，而t=18时，W最大，
∴2（a+7）=18，解得：a=2

点评：此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．