题目内容
（2006•舟山）如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；
（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．
【答案】分析：（1）由等边三角形的性质知，OBA=∠CBD=60°，易得∠OBC=∠ABD，又有OB=AB，BC=BD故有△OBC≌△ABD；
（2）由1知，△OBC≌△ABD?∠BAD=∠BOC=60°，可得∠OAE=60°，在Rt△EOA中，有EO=OA•tan60°=
，即可求得点E的坐标；
（3）由相交弦定理知1•m=n•AG，即AG=
，由切割线定理知，OE2=EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE=
=2，故建立方程：（
）2=（2-
）（2+n），就可求得m与n关系．
解答：解：（1）两个三角形全等．
∵△AOB、△CBD都是等边三角形，
∴OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD；
∵OB=AB，BC=BD，
△OBC≌△ABD；
（2）点E位置不变．
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
∠OAE=180°-60°-60°=60°；
在Rt△EOA中，EO=OA•tan60°=
，
或∠AEO=30°，得AE=2，
∴OE=
∴点E的坐标为（0，
）；
（3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1•m=n•AG，即AG=
；
又∵OC是直径，
∴OE是圆的切线，OE2=EG•EF，
在Rt△EOA中，AE=
=2，
（
）2=（2-
）（2+n）
即2n2+n-2m-mn=0
解得m=
．
点评：命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．
（2）由1知，△OBC≌△ABD?∠BAD=∠BOC=60°，可得∠OAE=60°，在Rt△EOA中，有EO=OA•tan60°=
，即可求得点E的坐标；（3）由相交弦定理知1•m=n•AG，即AG=
，由切割线定理知，OE2=EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE==2，故建立方程：（）2=（2-）（2+n），就可求得m与n关系．解答：解：（1）两个三角形全等．
∵△AOB、△CBD都是等边三角形，
∴OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD；
∵OB=AB，BC=BD，
△OBC≌△ABD；
（2）点E位置不变．
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
∠OAE=180°-60°-60°=60°；
在Rt△EOA中，EO=OA•tan60°=
，或∠AEO=30°，得AE=2，
∴OE=
∴点E的坐标为（0，
）；（3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1•m=n•AG，即AG=
；又∵OC是直径，
∴OE是圆的切线，OE2=EG•EF，
在Rt△EOA中，AE=
=2，（
）2=（2-）（2+n）即2n2+n-2m-mn=0
解得m=
．点评：命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．
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