题目内容
如图，⊙O与矩形ABCD的边BC相切于点F，与边AB的延长线相切于点E，且顶点D刚好在直
线EF上．（1）图中共有哪些个角等于45°？不添加任何辅助线，直接写出角的名称即可；
（2）若AB=2，AD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分面积；
（3）点P在矩形ABCD的边AD上移动，连接PF并延长交⊙O于点Q，那么当点P移动时，请你探究∠DPF与∠FEQ的大小关系，并说明理由．
分析：（1）根据切线长定理发现等腰直角三角形，再进一步结合对顶角相等和平行线的性质写出所有等于45°的角；
（2）连接OF、OE．发现正方形OFBE，要求圆的半径，即求BF的长，根据平行线分线段成比例定理均可求解，阴影部分的面积即为扇形OFE的面积减去三角形OEF的面积；
（3）根据圆周角定理求得∠Q=45°，根据三角形的内角和定理即可证明两角相等．
（2）连接OF、OE．发现正方形OFBE，要求圆的半径，即求BF的长，根据平行线分线段成比例定理均可求解，阴影部分的面积即为扇形OFE的面积减去三角形OEF的面积；
（3）根据圆周角定理求得∠Q=45°，根据三角形的内角和定理即可证明两角相等．
解答：
解：（1）∠BEF、∠BFE、∠CDF、∠CFD、∠ADF．
（2）连接OF、OE，则四边形OEBF是正方形．
设圆的半径是r．
∵AD∥BC，
∴
=
，
即
=
，
r=1或r=0（不合题意，应舍去）．
即圆的半径是1．
阴影部分的面积=
π-
．
解：∠DPF=∠FEQ．理由如下：
∵BE、BF是圆的切线，
∴BE=BF．
∴∠BFE=∠BEF=45°．
∵AD∥BC，
∴∠ADF=45°．
∵四边形OEBF是正方形，
∴∠EOF=90°．
∴∠Q=45°=∠ADF．
又∠PFD=∠QFE，
∴∠DPF=∠FEQ．
解：（1）∠BEF、∠BFE、∠CDF、∠CFD、∠ADF．（2）连接OF、OE，则四边形OEBF是正方形．
设圆的半径是r．
∵AD∥BC，
∴
| BF |
| AD |
| BE |
| AE |
即
| r |
| 3 |
| r |
| 2+r |
r=1或r=0（不合题意，应舍去）．
即圆的半径是1．
阴影部分的面积=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
解：∠DPF=∠FEQ．理由如下：
∵BE、BF是圆的切线，
∴BE=BF．
∴∠BFE=∠BEF=45°．
∵AD∥BC，
∴∠ADF=45°．
∵四边形OEBF是正方形，
∴∠EOF=90°．
∴∠Q=45°=∠ADF．
又∠PFD=∠QFE，
∴∠DPF=∠FEQ．
点评：此题综合运用了切线长定理、正方形的判定和性质、圆周角定理以及扇形的面积公式．
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如图，⊙O与矩形ABCD的AD、AB、CD的三边分别相切于E、F、G三点，边BC与⊙O交于P、Q两点，若AD=4，AB=3，则sin∠PEQ的值为
线EF上．
