Question

（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=-

1

4

x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=-

b

2a

求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）根据

OA

OC

=

OC

OB

，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；
（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

1

4

x²+bx+4的图象经过点A（-2，0），
∴-

1

4

×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=

3

2

，
∴抛物线解析式为 y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
又∵y=-

1

4

x²+

3

2

x+4=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，
∴对称轴方程为：x=3．

（2）在y=-

1

4

x²+

3

2

x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；
令y=0，即-

1

4

x²+

3

2

x+4=0，整理得x²-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：

8k+b=0 b=4

，
解得k=-

1

2

，b=4，
∴直线BC的解析式为：y=-

1

2

x+4．

（3）可判定△AOC∽△COB成立．
理由如下：在△AOC与△COB中，
∵OA=2，OC=4，OB=8，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB．

（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
可设点Q（3，t），则可求得：
AC=

22+42

=

20

=2

5

，
AQ=

52+t2

=

25+t2

，
CQ=

32+(t-4)2

=

(t-4)2+9

．
i）当AQ=CQ时，
有

25+t2

=

(t-4)2+9

，
25+t²=t²-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q₁（3，0）；
ii）当AC=AQ时，
有

25+t2

=2

5

，
t²=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，
有

(t-4)2+9

=2

5

，
整理得：t²-8t+5=0，
解得：t=4±

11

，
∴点Q坐标为：Q₂（3，4+

11

），Q₃（3，4-

11

）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q₁（3，0），Q₂（3，4+

11

），Q₃（3，4-

11

）．

点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类讨论．