Question

（2008•白下区二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0〕，C（0，4〕，M是OA的中点，点P在BC边上运动．
（1）当PO=PM时，点P的坐标为

（2.5，4）

；
（2）当△OPM是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）过P点作PD⊥OA，垂足为D，根据M是OA的中点，求出OM=5，又知PO=PM，PD⊥OA，于是求出OD=

1

2

OM=2.5，P点的坐标即可求出．
 （2）题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．

解答：解：

（1）如图1，过P点作PD⊥OA，垂足为D，
∵M是OA的中点，故OM=5，
∵PO=PM，PD⊥OA，
∴OD=

1

2

OM=2.5，
故P点坐标为（2.5，4），

（2）①如图1，OM是等腰三角形的底边时，P就是OM的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PM≠5；
②如图2，OM是等腰三角形的一条腰时：若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，根据勾股定理可得P的坐标是（3，4）．
如图3，若M是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，根据勾股定理可得P的坐标是（2，4）或（8，4）．

故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．

点评：本题主要考查矩形的性质和等腰三角形的性质的知识点，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．