题目内容

将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动
2
3
秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t=1时，如图1，将沿△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）连接AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．
（1）OP=6-t，OQ=t+
2
3
．


（2）当t=1时，过D点作DD1⊥OA，交OA于D1，如图1，
则DQ=QO=
5
3
，QC=
4
3
，
∴CD=1，
∴D（1，3）．

（3）①PQ能与AC平行．
若PQ∥AC，如图2，则
OP
OQ
=
OA
OC
，
即
6-t
t+
2
3
=
6
3
，
∴t=
14
9
，而0≤t≤
7
3
，
∴t=
14
9
．
②PE不能与AC垂直．
若PE⊥AC，延长QE交OA于F，如图3，
则
QF
AC
=
OQ
OC
，
QF
3
5
=
t+
2
3
3
，
∴QF=
5
(t+
2
3
)．
∴EF=QF-QE=QF-OQ=
5
(t+
2
3
)-(t+
2
3
)=(
5
-1)t+
2
3
(
5
-1)=（
5
-1）（t+
2
3
），
又∵Rt△EPF∽Rt△OCA，
∴
PE
EF
=
OC
OA
，
∴
6-t
(
5
-1)(t+
2
3
)
=
3
6
，
∴t≈3.45，而0≤t≤
7
3
，
∴t不存在．
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