Question

【题目】对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．

（1）已知点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为______；

（2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y＝x＋b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；

（3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）25π；（2）点B的坐标为或；（3）m≤－5或m≥11

【解析】

(1)根据勾股定理，可得AB的长，根据圆的面积公式，可得答案；

(2)根据确定圆,可得l与⊙A相切,根据圆的面积,可得AB的长为3,根据等腰直角三角形的性质,可得，可得答案；

(3)根据圆心与直线垂直时圆心到直线的距离最短,根据确定圆的面积,可得PB的长,再根据30°的直角边等于斜边的一半，可得CA的长.

（1）(1)∵A的坐标为(1,0)，B的坐标为(3,3)，

∴AB==5，

根据题意得点A，B的“确定圆”半径为5，

∴S圆=π×52=25π．

故答案为25π；

（2）∵直线y＝x＋b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积

为9π，

∴⊙A的半径AB＝3且直线y＝x＋b与⊙A相切于点B，如图，

∴AB⊥CD，∠DCA＝45°．

，

①当b＞0时，则点B在第二象限．

过点B作BE⊥x轴于点E，

∵在Rt△BEA中，∠BAE＝45°，AB＝3，

∴．

∴．

②当b＜0时，则点B'在第四象限．

同理可得．

综上所述，点B的坐标为或．

（3）如图2，

，

直线当y＝0时，x＝3，即C（3，0）．

∵tan∠BCP＝，

∴∠BCP＝30°，

∴PC＝2PB．

P到直线的距离最小是PB＝4，

∴PC＝8．

3－8＝－5，P1（－5，0），

3＋8＝11，P（11，0），

当m≤－5或m≥11时，PD的距离大于或等于4，点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π．

点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，m的范围是m≤－5或m≥11．