Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=，求AE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，则∠AOD=为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°，即可证出答案．
（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE根据题意得sin∠ABE=．由AB是圆O的直径求出AB的长．再在Rt△ABE中，求得AE即可．
解答：解：（1）CD与圆O相切．（1分）
证明：连接OD，则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°．（2分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．（3分）
∴CD与圆O相切．

（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE．
∴sin∠ADE=sin∠ABE=．（4分）
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
在Rt△ABE中，sin∠ABE==．
∴AE=5．
点评：本题考查了切线的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及圆周角定理，注意辅助线的作法是解此题的关键．