题目内容

（A）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
（B）在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图①所示）：
（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α；
（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m；
（3）量出测倾器的高度AC=h．
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN．
如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图②）的方案：
（1）在图②中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当字母）；
（2）写出你设计的方案．

解：（1）先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C，连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．

（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．

∵OE⊥AB，
∴BD= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ×16=8cm．
由题意可知，ED=4cm，
设半径为xcm，则OD=（x-4）cm，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD²+BD²=OB²，
∴（x-4）²+8²=x²，
解得x=10．
即这个圆形截面的半径为10cm；

（B）（1）示意图如右所示；
（2）①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与小山之间的B处安置测倾器（A、B与N在同一条直线上），测得此时山顶M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=h，以及测点A、B之间的距离AB=m．
根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN．
分析：（A）（1）在 $\text{[math]}$ 上找一个点C，连接AC，分别作出弦AB与AC的垂直平分线，两线交于O点，则点O为输水管的圆心，连接OA，即为输水管的半径，补全这个输水管道的圆形截面即可；
（2）如图所示，根据垂径定理得到BD= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解；
（B）（1）根据题意要求，可作出示意图；
（2）根据（1）中，所给的测量工具，可先测得∠MCE=α，山顶M的仰角∠MDE=β．根据测点A、B之间的距离AB=m构造两个直角三角形，可得设计方法．
点评：本题主要考查了垂径定理的应用，俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．