Question

【题目】如图，四边形ABCD为长方形，C点在x轴，A点在y轴上，D点坐标是(0，0)，B点坐标是(3，4)，长方形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，F(2，4)．

（1）求G点坐标；

（2）△EFG的面积为　 　（直接填空）；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的纵坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）G点的坐标为；（2）；（3）

【解析】

（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FB=AB-AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标；

（2）由三角函数求出∠BFG=60°，得出∠AFE=∠EFG=60°，由三角函数求出AE=AFtan∠AFE=2，代入三角形面积公式计算即可；

（3）因为M、N均为动点，只有FG已经确定，所以可从此入手，按照FG为一边、FG为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用全等三角形求得M点的纵坐标，再利用直线解析式求出M点的横坐标，从而求得M点的坐标．

解：（1）∵B点坐标是（3，4），F（2，4），

∴AB=3，OA=BC=4，AF=2，

∴BF=AB-AF=1，

由折叠的性质得：△EFA≌△EFG，GF=AF=2，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=90°，

∴

∴

∴G点的坐标为

（2）在Rt△BFG中，cos∠BFG=

∴∠BFG=60°，

∴∠AFE=∠EFG=60°，

∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=

∵△EFA的面积=

∴△EFG的面积=

故答案为：

（3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：

①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示．

过点作⊥x轴正半轴于点H，

∵

∴

又∵AB∥OQ

∴∠HQF=∠BFG

∴

又∵

在△和△GBF中，

∴

∴

由（2）得：

∴E点的坐标为

设直线EF的解析式为y=kx+b，则

解得：

∴直线EF的解析式为

∵当时， ，

∴点 的坐标为

②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示．

仿照与①相同的办法，可求得

③FG为平行四边形的对角线，如图3所示．

过 作FB延长线的垂线，垂足为H

则

在△和△中，

∴

∴

∴的纵坐标为

代入直线EF解析式，得到的横坐标为

∴

综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形．

点M的坐标为：