Question

（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D；

（1）求证：AP=AC；

（2）若AC=3，求PC的长．

 

Answer 1

【答案】

见解析

【解析】1）连接AD，OA

PA是切线，∴OA垂直于PA

∵CD经过圆心，∴CD是直径

∵∠BAC=90º(直径所对的圆周角是直角）

∵∠ADC=∠B=60º(同弧上的圆周角相等）

∴∠ACP=30º

∵∠AOD是圆心角，所以∠AOD=2∠ACP=60º

∴在直角三角形OAP中，∠P=30º

∴∠P=∠ACP

那么 AP=AC                             （5分）

2）∵AP是切线。∴∠DAP=∠ACP=30º(同弧上的圆周角和弦切角相等）

∴∠DAP=∠P

那么 AD=DP

设AD=a，那么 PC=3a

在直角三角形ACD中。由勾股定理得

AD²+AC²=CD²

即 a²+9=4a²

a²=3     a=

即PC=.                              （10分）