题目内容
【题目】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆
的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
求证：△ACE是奇异三角形．
【答案】真；1：
：
；见解析．
【解析】
试题根据命题的逆命题定义得出命题的真假；根据直角三角形的性质以及奇异三角形的定义得出a、b、c之间的关系；根据Rt△ABC的性质得出a2＋b2＝c2,根据直径可得：∠ACB=∠ADB=90°，从而得出AC2＋BC2=AD2＋BD2,根据弧的中点得出AD=BD，结合CB=CE，AE=AD得出答案．
试题解析：（1）真命题．
（2）在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2, ∵c＞b＞a＞0，∴2c2＞a2＋b2，2a2＜b2＋c2,
∴若△ABC是奇异三角形，一定有2b2=a2＋c2, ∴2b2=a2＋（a2＋b2 ）， ∴b2=2a2，b=
a,
∵c2=b2＋a2=3a2，∴c=
a ∴a: b: c＝1: : 
．
（3）在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2, ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC2＋BC2=AB2 在Rt△ADB中，AD2＋BD2=AB2, ∴AC2＋BC2=AD2＋BD2,
∵D是半圆
的中点，∴
=
,∴AD=BD ∴AC2＋BC2=2AD2又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2＋CE2=2AE2, ∴△ACE是奇异三角形
