Question

如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，AB=7，BC-AD=1．以CD为直径的圆O与AB有两个不同的公共点E、F，与BC交于点G．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：AE=BF；
（3）当AE=1时，在线段AB上是否存在点P，以点A，P，D为顶点的三角形与以点B，P，C为顶点的三角形相似？若存在，在图中描出所有满足条件的点P的位置（不要求计算）；若不存在，请说理由．
（4）当AE为何值时，能满足（3）中条件的点P有且只有两个？

Answer 1

分析：（1）连接DG，根据直径所对的圆周角是直角得出DG⊥BC，在△DGC中根据勾股定理求出DC的长即可；
（2）作OM⊥AB于M，根据垂径定理求出EM=FM，根据梯形的中位线推出AM=BM即可；    
（3）有三个点：①P与E重合时，∠CED=90°，根据同角的余角相等得出∠AED=∠ECB，又∠DAB=∠ABC，由两角对应相等的两三角形相似证明出△AED∽△BCE，即可求出AP；②P与点F重合时，与①类似能求出AP；③P在线段EF上，由△APD∽△BPC，根据相似三角形的性质得出比例式求出AP即可． 
（4）当P₃与E（P₁）重合时，即∠AED=∠BEC=45°，只有两解，根据相似三角形的性质得出比例式求出AE=3．

解答：解：（1）连接DG．
∵CD为直径，
∴DG⊥BC，
在△DGC中，∵BC-AD=1，
∴GC=1，
又∵AB=7，
∴DC=

72+12

=5

2

，
∴⊙O的半径为

5 2

2

；

（2）作OM⊥AB于M，根据垂径定理得EM=FM，
又∵AD∥OM∥BC，OD=DC，
∴AM=BM，
∴AM-EM=BM-FM，
即AE=BF；


（3）有三个点．
设AD=x，则BC=x+1，根据勾股定理，
AD²+AE²=DE²，即 x²+1=DE²，
BE²+BC²=CE²，即6²+（x+1）²=CE²，
又CE²+DE²=CD²=50，
即  x²+1+[6²+（x+1）²]=50，
解得 x=2，
即AD=2，BC=3．
第一种情况：∠APD+∠BPC=90．
只有∠DPC=90度时，∠APD+∠BPC=90，△PAD∽△CBP．
根据圆的特性，CD为直径，所以这样的点都在圆弧上，即点E，F
设AF=y．则根据AD²+AF²+BF²+BC²=CD²，
∴4+y²+（7-y）²+9=50，
解得y₁=1，y₂=6
即 AP=1，或者AP=6；
第二种情况：∠APD=∠BPC时，三角形PAD相似于PBC．
假设存在这样的点P，使得：∠APD=∠BPC时，△APD∽△BPC，则
AP：BP=AD：BC=2：3，
又∵AP+BP=AB=7，
所以AP=7×

2

5

=

14

5

．
综合以上，可以看出，这样的点有3个，AP的长度分别为 1，6，

14

5

；

（4）当P₃与E（P₁）重合时，即∠AED=∠BEC=45°，此时△APD与△BPC都是等腰直角三角形，
由△APD∽△BPC，得AP=AD，BP=BC，
又AP+BP=7，BC-AD=1，
∴AP=3，即AE=3．
故当AE=3时，满足（3）中条件的点P有且只有两个，即点E、点F．

点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．进行分类讨论是解题的关键．