Question

如图，从点P向⊙O引两条切线PA、PB，切点A、B，BC为⊙O的直径，若∠P=60°，PA=6，求AC的长．

Answer 1

【答案】分析：连接AB，由PA、PB为⊙O的切线，根据切线长定理和切线的性质得到PA=PB，BC⊥BP，而∠P=60°，根据等边三角形的判定得到△PAB为等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB=AP=6，∠ABP=60°，则∠ABC=90°-60°=30°；再根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAC=90°，则BC=2AC，然后利用勾股定理即可计算出AC的长．
解答：解：连接AB，如图，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，BC⊥BP，
又∵∠P=60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB=AP=6，∠ABP=60°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
又∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，
设AC=x，则BC=2AC=2x，
∴AB²+AC²=BC²，即6²+x²=（2x）²，解得x=2，
∴AC=2．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了切线长定理、圆周角定理的推论以及等边三角形的性质．