Question

小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在△ABC 中，若∠C=90°, BC =" a" , AC =" b" , AB=c，如下图，根据勾股定理，则 。爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并选择其中一种情况给予证明。〔下图备用）

Answer 1

解析
①当三角形是锐角三角形时，
证明：作AD⊥BC垂足是D，设CD的长为x，
根据勾股定理得：b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
整理得：a²+b²=c²+2ax
∵2ax＞0
∴a²+b²＞c²  ---- ------------------------8分
②当三角形为钝角三角形时
证明：过B点作AC的垂线交AC于D点，设CD的长为y
在直角三角形ABD中BD²=c²-（b+y）²
在直角三角形BDC中BD²=a²-y²
∴a²-y²=c²-（b+y）²
整理得：a²+b²=c²-2by
∵2by＞0，∴a²+b²＜c²．---- ----------------------8分
所以：①在锐角三角形中，a²+b²＞c²．
②在钝角三角形中，a²+b²＜c²．
（其他解法酌情给分）
本题考查勾股定理的应用，做题时考虑全面是关键。