Question

（2012•鼓楼区一模）（1）6位新同学参加夏令营，大家彼此握手，互相介绍自己，这6位同学共握手多少次？小莉是这样思考的：每一位同学要与其他5位同学握手5次，6位同学握手5×6=30次，但每两位同学握手2次，因此这6位同学共握手 

5×6

2

=15次．依此类推，12位同学彼此握手，共握手

66

次．
（2）我们经常会遇到与上面类似的问题，如：2条直线相交，最多只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；…；求20条直线相交，最多有多少个交点？
（3）在上述问题中，分别把人、线看成是研究对象，两人握手、两线相交是研究对象间的一种关系，要求的握手总次数、最多交点数就是求所有对象间的不同关系总数．它们都是满足一种相同的模型．请结合你学过的数学知识和生活经验，编制一个符合上述模型的问题．
（4）请运用解决上述问题的思想方法，探究n边形共有多少条对角线？写出你的探究过程及结果．

Answer 1

分析：（1）根据总结的公式代入12即可求得结果；
（2）将握手问题推广至直线交点问题即可得到相同的运算公式；
（3）将以上问题推广至单循环比赛中即可得到答案；
（4）首先得到从一个顶点引出的对角线的条数然后乘以顶点个数除以2即可．

解答：解：（1）

12×11

2

=66．…（1分）
（2）每一条直线最多与其它19条直线相交，20条直线交点20×19=380个，但每两条直线相交2次，因此这20条直线相交，最多有

20×19

2

=190个交点．…（4分）
（3）答案不唯一，如：现有12个乒乓球队参加乒乓球循环赛（每个队都要与其他队比赛1场），共需比赛多少场？…（7分）
（4）n边形每一个顶点与其它不相邻的（n-3）个顶点连成对角线，共有n（n-3）条对角线，但每两个不相邻的顶点相连2次，因此n边形共有

n(n-3)

2

）（n＞3）条对角线．…（10分）

点评：本题考查了规律型问题，可以将以上问题总结为握手问题，解题的关键是找到问题的通项公式．