题目内容
（2005•郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．?（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．
（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？
（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．?
【答案】分析：正方形，矩形，平行四边形图形中的三个三角形都是等高的三角形，它们的面积关系，就要看底边的关系了，由于AE+EB=CD，所以S△ADE+S△BCE=S△CDE在这三个图形中都成立；梯形不具备这一特征，就不一定成立．
解答：解：①S△ADE+S△BCE=S△CDE?
方法1：同底同高?
S△ADE+S△BCE=
．
方法2：因为过E作EF∥BC交DC于F，则四边形AEFD和EBCF是矩形
所以S△AED=S△EFD，S△EBC=S△EFC，?
所以S△ADE+S△BCE=S△EFD+S△EFC=S△DEC．
②四边形ABCD是矩形时（1）中结论成立，方法同上
当四边形ABCD是平行四边形时，结论还是成立．
③当四边形ABCD是梯形时，①中结论当E点为AB中点时成立，其它情况不成立不成立．
理由如下：
设S△ADE=S1，S△BCE=S2，S△DEC=S3，
梯形ABCD上底为a，下底为b面积为S，如图．
则
=
如果S△ADE+S△BCE=S△DEC，则有
，a（h1-h2）=b（h1-h2）．
如果h1=h2，则E为AB中点，如果h1≠h2，则a=b，四边形ABCD是平行四边形．
点评：解答本题要充分利用正方形、矩形，平行四边形的对边相等的性质；观察图形的底与高的关系，利用等底，等高的两个三角形面积相等，确定三角形的面积关系．
解答：解：①S△ADE+S△BCE=S△CDE?
方法1：同底同高?
S△ADE+S△BCE=
．方法2：因为过E作EF∥BC交DC于F，则四边形AEFD和EBCF是矩形
所以S△AED=S△EFD，S△EBC=S△EFC，?
所以S△ADE+S△BCE=S△EFD+S△EFC=S△DEC．
②四边形ABCD是矩形时（1）中结论成立，方法同上
当四边形ABCD是平行四边形时，结论还是成立．
③当四边形ABCD是梯形时，①中结论当E点为AB中点时成立，其它情况不成立不成立．
理由如下：
设S△ADE=S1，S△BCE=S2，S△DEC=S3，
梯形ABCD上底为a，下底为b面积为S，如图．
则
=如果S△ADE+S△BCE=S△DEC，则有
，a（h1-h2）=b（h1-h2）．如果h1=h2，则E为AB中点，如果h1≠h2，则a=b，四边形ABCD是平行四边形．
点评：解答本题要充分利用正方形、矩形，平行四边形的对边相等的性质；观察图形的底与高的关系，利用等底，等高的两个三角形面积相等，确定三角形的面积关系．
练习册系列答案
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