题目内容
（2012•延庆县一模）阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6，且∠BAC=45°，求线段AD的长．
小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°，然后过O点作
OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及OE，在Rt△AOF中可以求出AF，最后利用AD=AF+DF得以解决此题．
请你回答图2中线段AD的长
参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图3：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6，且∠BAC=30°，则线段AD的长
小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6，且∠BAC=45°，求线段AD的长．
小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°，然后过O点作
OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及OE，在Rt△AOF中可以求出AF，最后利用AD=AF+DF得以解决此题．
请你回答图2中线段AD的长
12
12
．参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图3：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6，且∠BAC=30°，则线段AD的长
3
+5
| 11 |
| 3 |
3
+5
．| 11 |
| 3 |
分析：（1）根据小红的解题方法，过O点作OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及OE，在Rt△AOF中可以求出AF，最后利用AD=AF+DF得以解决具体计算即可求解；
（2）与（1）的解法相同．
（2）与（1）的解法相同．
解答：解：（1）∵OE⊥BC于E，
∴EC=
BC=
（BD+CD）=
（4+6）=5，
又∵∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴∠COE=45°，
∴直角△OEC中，OC=
CE=5
，
在直角△AOF中，OF=BE-BD=5-4=1，
AF=
=7，
∴AD=AF+FD=7+5=12，故答案是：12；
（2）过O点作OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及OE，
与（1）的解法相同，可以得到：EC=5，∠EOC=30°，
则OE=
EC=5
，OC=2EC=10，
在直角△AOF中，利用勾股定理可以得到：AF=3
，
则AD=AF+FD=3
+5
．
∴EC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又∵∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴∠COE=45°，
∴直角△OEC中，OC=
| 2 |
| 2 |
在直角△AOF中，OF=BE-BD=5-4=1，
AF=
| OA2-OF2 |
∴AD=AF+FD=7+5=12，故答案是：12；
（2）过O点作OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及OE，
与（1）的解法相同，可以得到：EC=5，∠EOC=30°，
则OE=
| 3 |
| 3 |
在直角△AOF中，利用勾股定理可以得到：AF=3
| 11 |
则AD=AF+FD=3
| 11 |
| 3 |
点评：本题考查了圆周角定理、勾股定理以及垂径定理，正确理解题意，求得AF的长度是关键．
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