题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+
，0），对于线段AB和点P给出如下定义：当∠APB＝90°时，称点P为线段AB的“直角视点”．
（1）若t＝﹣
，在点C（0，），D（﹣1，
），E（，）中，能够成为线段AB“直角视点”的是 ．
（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（
，0），∠OMN＝30°．
①线段AB的“直角视点”P在直线MN上，且∠ABP＝60°，求点P的坐标．
②在①的条件下，记Q为直线MN上的动点，在点Q的运动过程中，△QAB的周长存在最小值，试求△QAB周长的最小值 ．
③若线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，则t的取值范围是 ．
【答案】（1）C、E；（2）①点P的坐标为
或
；②
③
【解析】
（1）根据给定的t值找出A、B点的坐标，再利用解三角形的方法讨论C、D、E点是否满足“直角视点”的条件即可得出结论；
（2）①分两种情况：当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴上方时和当 MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，分别计算点P的坐标即可.
②作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，连接AA'，则AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，进行计算即可.
③分别计算B点与O重合，点A与M重合时t的值，从而得出线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，则t的取值范围．
解：（1）若
则
则
∴
∵点C（0，
），D（﹣1，
），E（
，）
由勾股定理得：
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴点C是线段AB的“直角视点”；
同理：
∴
∴
∴点D不是线段AB的“直角视点”；
同理：
∴AE2+BE2＝8＝AB2，
∴∠AEB＝90°，
∴点E是线段AB的“直角视点”；
故答案为：C、E；
（2）①分两种情况：当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴上方时，
∵点P是线段AB的“直角视点”，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
∵∠ABP＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴
如图1所示：作PG⊥AB于G，
则
∵点M的坐标是
,∠OMN＝30°，
∴
∴
∴P
当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，同理得：P
综上所述，点P的坐标为或;
②∵
，若△QAB的周长最小，则AQ+BQ的值最小，
作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，连接AA'，
则AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，
∵∠OMN＝30°，
∴∠MAA'＝60°，
∵
∴
由勾股定理得： 
∴△QAB最小值为
故答案为：
③如图3所示：
当B点与O重合，则
∴
当A与M重合时，
∴若线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，t的取值范围是
故答案为：
