题目内容
【题目】定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．
（1）如图①，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？
（2）如图②，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF，连接DE，EF，DF，得到△DEF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．
【答案】（1）定点O是△ABC的外心有道理，理由见解析；（2）见解析
【解析】
（1）连接
、
、
，如图①，根据线段垂直平分线的性质得到
，
，则
，从而根据三角形的外心的定义判断点
是
的外心；
（2）连接、
、、
，如图②，利用等边三角形的性质得到
，
，再计算出
，接着证明
得到
，同理可得
，所以
，然后根据三角形外心的定义得到点是
的外心．
（1）解：定点是的外心有道理．
理由如下：
连接、、，如图①，
，
的垂直平分线得到交点，
，，
，
点是的外心；
（2）证明：连接、、、，如图②，
点为等边的外心，
，，
，
，
在
和
中
，
，
，
同理可得，
，
点是的外心．
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