Question

已知正方形纸片ABCD．如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）请你找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当AB=2，点P位于CD中点时，请借助图2画出折叠后的示意图，并求CG的长．

Answer 1

分析：（1）仔细观察图形可证明△EDP∽△PCG，两者都是直角三角形，再寻找一个角相等即可作出判断．
（2）AE=x，则ED=2-x，EP=x，在RT△EDP中利用勾股定理可解出x的值，再由△EDP∽△PCG，利用相似三角形的性质可得出CG的长度．

解答：解：（1）与△EDP相似的三角形是△PCG（或△FQG）．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠知∠EPQ=∠A=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3．
∴△EDP∽△PCG．

（2）正确画出示意图．
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2．
设AE=x，则ED=2-x，EP=x．
∵P是CD的中点，
∴DP=PC=1．
在Rt△EDP中，∠D=90°，
根据勾股定理得：x²=（2-x）²+1，
解得 x=

5

4

，
∴ED=

3

4

，
∵△EDP∽△PCG，
∴

ED

PC

=

DP

CG

．
∴

3 4

1

=

1

CG

．
∴CG=

4

3

．

点评：此题考查了翻折变换、勾股定理及正方形的性质，综合性较强，解答本题的关键是要求我们熟练勾股定理在解直角三角形中的应用，及翻折变换的性质，难度较大．