Question

如图甲，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角△DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上．
（1）问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求的值；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（O°＜α＜90°）后，记为△D₁CE₁（图乙），若M₁是线段BE₁的中点，N₁是线段AD₁的中点，则=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；
（3）根据（2）中证明方法，利用四边形内角和得出BD₁⊥AE₁，进而求出即可．
解答：解：（1）在一条直线上．
理由如下：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠ACE=90°，
∴∠BCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三点共线．                                               

（2）连接BD，AE，ON，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴BC=AC，
在△BCD和△ACE中，
∵，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，∠DBE=∠EAC，
∴∠AEB+∠EBD=90°，
∴BD⊥AE，
∵O，N为中点，
∴ON∥BD，ON=BD，
同理：OM∥AE，OM=AE，
∴OM⊥ON，OM=ON，
∴MN=OM，
∴=，

（3）成立．
理由如下：连接BD ₁，AE₁，ON ₁，延长BD₁交AE于点F，
和（2）一样，易证得△BCD₁≌△ACE₁，∴∠E₁AC=∠FBC，
∠BD₁C=∠AE₁C，
∴∠E₁FB+∠AE₁C+∠D₁BC+90°+∠D₁CB=360°（四边形内角和定理），
又∵∠AE₁C+∠D₁BC+∠D₁CB=180°，
∴∠E₁FB+90°+180°=360°，
∴∠E₁FB=90°，
∴BD₁⊥AE₁，
可得△ON₁M ₁为等腰直角三角形，
从而有M₁N ₁=OM ₁．
故答案为：．
点评：此题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质．