题目内容
如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE，过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．（1）求证：△PBE∽△QAB；
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；
（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？
分析：（1）通过证明∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，得出△PBE∽△QAB；
（2）证明
=
，即
=
，∠ABE=∠BPE=90°，得出△PBE∽△BAE；
（3）由∠AEB=∠CEB可知A能叠在直线EC上．
（2）证明
| BE |
| AB |
| PE |
| PB |
| BE |
| EP |
| AB |
| PB |
（3）由∠AEB=∠CEB可知A能叠在直线EC上．
解答：（1）证明：据题意得：PQ⊥AD，
∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
又∵∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．
（2）解：△PBE和△BAE相似．
证明：∵△PBE∽△QAB，
∴
=
．
∵由折叠可知BQ=PB．
∴
=
，
即
=
．
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE．
（3）解：点A能叠在直线EC上．
由（2）得，△PBE∽△BAE
∴∠AEB=∠CEB，
∴沿直线EB折叠纸片，点A能叠在直线EC上．
∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
又∵∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．
（2）解：△PBE和△BAE相似．
证明：∵△PBE∽△QAB，
∴
| BE |
| AB |
| PE |
| BQ |
∵由折叠可知BQ=PB．
∴
| BE |
| AB |
| PE |
| PB |
即
| BE |
| EP |
| AB |
| PB |
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE．
（3）解：点A能叠在直线EC上．
由（2）得，△PBE∽△BAE
∴∠AEB=∠CEB，
∴沿直线EB折叠纸片，点A能叠在直线EC上．
点评：掌握图形的变化中翻折变换（折叠问题）的特点，考查了相似三角形的判断和性质．
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