Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8。半径为的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3。将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E。
（1）画出旋转后的Rt△ADE；
（2）求出Rt△ADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度；
（3）判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系，并说明理由。

Answer 1

解：（1）如图Rt△ADE就是要画的图形
（2）连接MQ，过M点作MF⊥DE，垂足为F，
由Rt△ABC可知，NE=1，
在Rt△MFQ中，
解得FQ=，
故弦PQ的长度2。
（3）AD与⊙M相切。
证明：过点M作MH⊥AD于H，连接MN，MA，则MN⊥AE，且MN=，
在Rt△AMN中，tan∠MAN==，
∴∠MAN=30°，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠MAN=∠MAD=30°，
∴MH=MN，
∴AD与⊙M相切。