Question

如图，在△ABC中，AC = BC，AB = 8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC = MN．设AM = x．

（1）如果CD = 3，AM = CM，求AM的长；
（2）如果CD = 3，点N在边BC上．设CN = y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果∠ACB = 90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线段ME的长是否会改变？说明你的理由．

Answer 1

（1）（2），（3）线段ME的长不变，理由见解析

解：（1）∵ AC = BC，∴  ∠A =∠B．
∵ AC = BC，CD⊥AB，∴ ．……………………（1分）
由勾股定理，得 ．………………（1分）
∵ AM = CM，∴  ∠A =∠ACM．
即得  ∠ACM =∠B．
∴  △ACM∽△ABC．…………………………………………………（1分）
∴ ．∴ ．即得 ．………………（1分）
（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．
由 AM = x，得 BM =" 8" –x．
∵ MF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠MFB =∠ADC = 90°．
又∵  ∠A =∠B，∴  △MBF∽△ACD．……………………………（2分）
∴ ．即得 ．
∴ ．
∴ ．…………………………（1分）
∵ MC = MN，MF⊥BC，
∴ ．
即得 ．……………………………………………………（1分）
定义域为 ．………………………………………………（1分）
（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．…………（1分）
由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．
（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上．
∵  AC = BC，∠ACB = 90°，∴  ∠A =∠B = 45°．
又∵ AC = BC，CD⊥AB，AB = 8，
∴ CD = BD = 4．
即得 ．
∵ MC = MN，∴  ∠MCN =∠MNC．
∵  ∠MCN =∠MCD +∠BCD，∠MNC =∠B +∠BMN，
∴  ∠MCD =∠NME．
又∵ CD⊥AB，NE⊥AB，∴  ∠CDM =∠MEN = 90°．
∴  △MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ ME = CD = 4．……………………………………………………（2分）
（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上．
于是，由  ∠ABC =∠MNC +∠BMN = 45°，
∠BCD =∠MCD +∠MCN = 45°，
∠MCN =∠MNC，
得  ∠MCD =∠BMN．
再由 MC = MN，∠CDM =∠MEN = 90°，
得  △MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ ME = CD = 4．……………………………………………………（2分）
∴　　由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．
（1）由勾股定理求得AC=5，然后利用相似三角形的相似比求出；
（2）证明△MBF∽△ACD，可得；
（3）注意点N在射线CB上，应该包括两种情况：点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．