Question

如图是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出行如（a+b）ⁿ展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出展开式中所缺的系数．
（1）（a+b）=a+b；                        
（2）（a+b）²=a²+2ab+b²；
（3）（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b；
（4）（a+b）⁴=

a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

；
（5）（a+b）⁵=

a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

．

Answer 1

分析：由（a+b）=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³可得（a+b）ⁿ的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）^n-1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）⁴的各项系数依次为1、4、6、4、1；（a+b）⁵的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；并且按字母a的降幂，b的升幂排列各项．

解答：解：（1）（a+b）=a+b；                        
（2）（a+b）²=a²+2ab+b²；
（3）（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b；
（4）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；
（5）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．
故答案为：（4）a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；（5）a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

点评：本题考查了完全平方公式，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．