如图.抛物线y＝a(x+1)(x-5)与x轴的交点为M.N．直线y＝kx+b与x轴交于P(-2.0).与y轴交于C．若A.B两点在直线y＝kx+b上.且AO=BO=.AO⊥BO．D为线段MN的中点.OH为Rt△OPC斜边上的高．(1)OH的长度等于 ,k＝ .b＝ ,(2)是否存在实数a.使得抛物线y＝a(x+1)(x-5)上有一点E.满足以D.N.E为顶点的三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（本题满分12分）如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b

与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．

(1)OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；

(2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶

点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜，写出探索过程．

见解析

解析:(1)OH＝1；k＝，b＝；（各1分）

(2)设存在实数a，是抛物线y＝a (x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似

∴以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．

①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．

由抛物线y＝a(x＋1)(x－5)得：M(－1，0)，N(5，0)

∴D(2，0)，∴ED＝DN＝3，∴E的坐标是(2，3)．

把E(2，3)代入抛物线解析式，得a＝

∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)

即y＝x²＋x＋（2分）

②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DE⊥EN，DE＝EN．

∴E的坐标为(3.5，1.5)

把E(3.5，1.5)代入抛物线解析式，得a＝．

∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)，即y＝x²＋x＋（2分）

当a＝时，在抛物线y＝x²＋x＋上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E’点，那么只有可能△DE’N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E’(3.5，1.5)．显然E’不在抛物线y＝x²＋x＋上，因此抛物线y＝x²＋x＋上没有符合条件的其他的E点．（1分）

当a＝时，同理可得抛物线y＝x²＋x＋上没有符合条件的其他的E点．

(1分)

当E的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y＝x²＋x＋时．

∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，∴∠GNP＝∠PBO＝45°．

又∵∠NPG＝∠BPO，∴△NPG∽△BPO．

∴，∴PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．（2分）

当E的坐标为(3.5，1.5)，对应的抛物线解析式为y＝x²＋x＋时，

同理可证得：PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．（1分）

练习册系列答案

相关题目

（本题满分12分）

如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当时，求线段的长；

（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；

（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．