Question

已知：O为四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N．
（1）若ABCD为正方形，如图①，猜想：线段OM与ON间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若ABCD为矩形，如图②，且AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

（1）OM=ON．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠OAN=∠OBM=45°，∠AOB=90°，
∴∠AON+∠BON=90°，
∵∠BON+∠BOM=90°，
∴∠AON=∠BOM，
在△AON和△BOM中，
∵，
∴△AON≌△BOM（ASA），
∴OM=ON；

（2）解：过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=6，
∴OE=AD=3，OF=AB=2，OE⊥OF，
∴∠EOM+∠FOM=90°，
∵∠EON+∠EOM=90°，
∴∠EON=∠FOM，
∵∠OEN=∠OFM=90°，
∴△FOM∽△EON，
∴OM：ON=OF：OE=2：3，
∵OM=x，ON=y，
∴y与x之间的函数关系式为：y=x．
分析：（1）由四边形ABCD为正方形，易证得△AON≌△BOM，然后由全等三角形的性质，证得OM=ON；
（2）首先过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥BC于点F，易证得△FOM∽△EON，然后由相似三角形的对应边成比例，求得y与x之间的函数关系式．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的判定与性质．此题那难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．