Question

（2006•玉溪）如图，半径分别为4cm和3cm的⊙O₁，⊙O₂相交于A，B两点，且O₁O₂=6cm，过点A作⊙O₁的弦AC与⊙O₂相切，作⊙O₂的弦AD与⊙O₁相切．
（1）求证：AB²=BC•BD；
（2）两圆同时沿连心线都以每秒1cm的速度相向移动，几秒钟时，两圆相切？
（3）在（2）的条件下，三点B，C，D能否在同一直线上？若能，求出移动的时间；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由弦切角定理知，∠CAB=∠D，∠DAB=∠C，故有△ABC∽△DBA，有AB：BD=BC：AB，即AB²=BC•BD；
（2）O₁O₂=4-3=1时，两圆内切，t=（6-1）÷2=2.5秒，当O₁O₂=7时，两圆外切，t=（6+7）÷2=6.5秒；
当O₁O₂=4-3=1时，两圆内切，t=（原来的圆心距+现在的圆心距）÷2=（6+1）÷2=3.5秒；
（3）若C，B，D在同一直线上，则应有∠ABC=∠ABD=90°，此时AC，AD分别是圆的直径，∠CAD也是直角；由勾股定理知CD=10，O₁O₂是△ACD的CD边对的中位线，O₁O₂=5，t=（6-5）÷2=0.5秒，或者t=（6-5+5）÷2=3秒．
解答：（1）证明：∵CA是⊙O₂的切线，DA是⊙O₁的切线，
∴∠CAB=∠D，∠DAB=∠C，
∴△ABC∽△DBA，
∴AB：BD=BC：AB，
即AB²=BC•BD；

（2）解：当O₁O₂=4-3=1时，两圆内切，t=（原来的圆心距-现在的圆心距）÷2=（6-1）÷2=2.5秒，
当O₁O₂=7时，两圆外切，t=（原来的圆心距+现在的圆心距）÷2=（6+7）÷2=6.5秒；
当O₁O₂=4-3=1时，两圆内切，t=（原来的圆心距+现在的圆心距）÷2=（6+1）÷2=3.5秒；

（3）解：能，分两种情况：
①当AC是⊙O₁的直径，AD是⊙O₂的直径时，∠ABC=∠ABD=90°，
∵∠CAB=∠D，∠DAB=∠C，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=180°÷2=90°，
∴由勾股定理得CD=10cm，
∵圆心是直径的中点，
∴O₁O₂=CD÷2=5，t=（6-5）÷2=0.5秒；
②当t=（6+5）÷2=5.5秒时，三点B，C，D在同一直线上．
点评：本题利用了弦切角定理，两圆的位置关系，直径对的圆周角是直角，勾股定理，三角形的中位线的判定和性质求解，注意第2，3小题都有两种情况．