Question

利用我们学过的知识，可以得到下面形式优美的等式：a²+b²+c²-ab-bc-ac=

1

2

[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你检验这个等式的正确性．
（2）若a=2007，b=2008，c=2009，你能很快求出a²+b²+c²-ab-bc-ac的值吗？

Answer 1

分析：（1）把等式的左边乘以2，配方整理成完全平方公式的形式，然后套用完全平方公式，最后再除以2即可；
（2）把abc的值代入公式进行计算即可．

解答：解：（1）左边=a²+b²+c²-ab-bc-ac，
=

1

2

（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac），
=

1

2

（a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²），
=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，
∴左边=右边，
即这个等式是正确的；

（2）当a=2007，b=2008，c=2009时，
a²+b²+c²-ab-bc-ac=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，
=

1

2

[（2007-2008）²+（2008-2009）²+（2009-2007）²]，
=

1

2

×（1+1+4），
=3．
故答案为：3．

点评：本题主要考查了完全平方公式的运用，乘以2是整理成公式结构的关键，也是解题的难点．