Question

24、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O．
（1）设AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有

①②③⑤

（把你认为正确的序号都填上）
（2）在你认为恒成立的结论中选一个加以证明．

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质及全等三角形的判定定理进行逐一判断即可．
①根据等边三角形三边相等及三角形内角和外角的关系求出△ACD≌△BCE，再根据全等三角形的性质解答即可；
②根据，△ABC为等边三角形及△ACP≌△BCQ可求出△PCQ为等边三角形，再根据平行线的判定定理即可解答；
③根据PQ∥AE可求出△APC≌△BPQ，再根据全等三角形的性质即可解答；
④根据在同一三角形中等边对等角解答；
⑤根据等边三角形的性质及三角形内角和定理解答．

解答：解：①正确，∵△ABC与△DCE为等边三角形，
∴CD=CE，AC=BC，∠ACD=∠BCE=120°，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
②正确，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，
又∵∠BCD=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°，
又∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAE=∠CBE，
∴△ACP≌△BCQ，
∴PC=CQ，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠QCE=60°
∴PQ∥AE．
③正确，
∵△PQC是等边三角形，
∴CQ=CP，
又∵∠ACP=∠BCQ，AC=BC，
∴△APC≌△BQC，
∴AP=BQ．
④错误，∵DC=DE，∠PCQ=∠CPQ=60°，
∴∠DPC＞60°，
∴DP≠DC，即DP≠DE．
⑤正确，
∵∠CAP=∠OBP，∠BAC=60°，
∴∠BAP+∠OBP=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠AOB=180°-（∠BAP+OBP）-∠BAC=60°．
故填①②③⑤．

点评：此题考查了等边三角形的性质、平行线的判定定理、全等三角形的判定与性质及三角形的内角和定理；找着选项的正误是正确解答本题的关键．