Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．

（1）求证：△ABC∽△BDC．

（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，又由BD是⊙O的切线，根据同角的余角相等，可得∠A=∠CBD，利用有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABC∽△BDC；

（2）由AC=8，BC=6，可求得△ABC的面积，又由△ABC∽△BDC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面积．

（1）∵BD是⊙O的切线，

∴AB⊥BD，

∴∠ABD=90°．

∴∠A+∠D=90°．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠BCD=90°，

∴∠CBD+∠D=90°，

∴∠A=∠CBD，

∴△ABC∽△BDC；

（2）∵△ABC∽△BDC，

∴，

∵AC=8，BC=6，

∴S△ABCACBC8×6=24，

∴S△BDC=S△ABC24÷()2．