题目内容
如图,已知矩形ABCD的边AB=2,BC=3,点P为AD边上的一动点(异于A、D),Q为BC上的任意一点,连接AQ、DQ,过点P作PE∥DQ交AQ于点E,作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证:△APE∽△PDF;
(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积y关于x的函数关系式.
(1)证明:∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ;
(2)解:同(1)可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ,及S△PEF=S平行四边形PEQF,
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方,
∴=()2,=()2,
∵S△AQD=AD×AB=×3×2=3,
得S△PEF=S平行四边形PEQF
=(S△AQD-S△AEP-S△DFP)
=×[3-()2×3-()2×3]
=(-x2+2x)
=-x2+x.
分析:(1)根据PE∥QD得出的同位角相等即可证得两三角形相似.
(2)由于PE∥DQ,PF∥AQ,因此四边形PEQF是平行四边形,根据平行四边形的性质可知:S△PEF=S平行四边形PEQF,可先求出△AQD的面积,然后根据△AEP与△ADQ相似,用相似比的平方即面积比求出△APE的面积,同理可求出△DPF的面积,进而可求出平行四边形PEQF的面积表达式,也就能得出关于S,x的函数关系式,根据函数的性质即可得出S的最大值即对于的x的值.
点评:本题主要考查了相似三角形的判定和性质、图形面积的求法、二次函数的应用等知识.
∴△APE∽△ADQ;
(2)解:同(1)可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ,及S△PEF=S平行四边形PEQF,
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方,
∴=()2,=()2,
∵S△AQD=AD×AB=×3×2=3,
得S△PEF=S平行四边形PEQF
=(S△AQD-S△AEP-S△DFP)
=×[3-()2×3-()2×3]
=(-x2+2x)
=-x2+x.
分析:(1)根据PE∥QD得出的同位角相等即可证得两三角形相似.
(2)由于PE∥DQ,PF∥AQ,因此四边形PEQF是平行四边形,根据平行四边形的性质可知:S△PEF=S平行四边形PEQF,可先求出△AQD的面积,然后根据△AEP与△ADQ相似,用相似比的平方即面积比求出△APE的面积,同理可求出△DPF的面积,进而可求出平行四边形PEQF的面积表达式,也就能得出关于S,x的函数关系式,根据函数的性质即可得出S的最大值即对于的x的值.
点评:本题主要考查了相似三角形的判定和性质、图形面积的求法、二次函数的应用等知识.
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