题目内容

如图所示，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA=15，OC=9，在边AB上选取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．
（1）求DE所在直线的解析式；
（2）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P有几个，并求出所有满足条件的点P的坐标；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）由题意知，OE=OA=15，AD=DE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =12，
∴BE=BC-CE=15-12=3
在Rt△BED中，由勾股定理知：AD²=DE²=BE²+BD²，即DE²=（9-DE）²+3²，
解得DE=5，
∴AD=5
∴D（15，5），E（12，9）
设DE直线的解析式为y=kx+b，
∴ $\text{[math]}$
解得k=- $\text{[math]}$ ，b=25
∴DE直线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+25；

（2）当在x的正半轴上，OP₁=OE=15时，点P₁与点A重合，则P₁（15，0）；

当在x的负半轴上，OP₂=OE=15时，则P₂（-15，0）；
当OE=EP₃时，作EH⊥OA于点H，有OH=CE=HP₃=12，则P₃（24，0）；
当OP₄=EP₄时，由勾股定理知P₄H²+EH²=P₄E²，即（12-P₄E）²+9²=P₄E²
解得OP₄=EP₄= $\text{[math]}$ ，即P₄（ $\text{[math]}$ ，0）；
∴满足△OPE为等腰三角形的点有四个：
P₁（15，0）；P₂（-15，0）；P₃（24，0）；P₄（ $\text{[math]}$ ，0）；

（3）作点D关于x的对称点D′，点E关于y轴的对称点E′，连接E′D′，

分别交于y轴、x轴于点N、点M，则点M、N是所求得的点．
在Rt△BE′D′中，D′E′= $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$
∴四边形DENM的周长=DE+EN+MN+MD=DE+D′E′=5+5 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于OE=OA=15，AD=DE，在Rt△OCE中，由勾股定理求得CE的值，再在Rt△BED中，由勾股定理建立关于DE的方程求解；
（2）分四种情况：在x的正半轴上，OP=OE时；在x的负半轴上，OP=OE时；EO=EP时；OP=EP时，分别可以求得点P对应的点的坐标；
（3）作点D关于x的对称点D′，点E关于y轴的对称点E′，连接E′D′，分别交于y轴、x轴于点N、点M，则点M、N是所求得的点，能使四边形的周长最小，周长且为E′D′+ED．
点评：本题综合考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、待定系数法、轴对称的性质、等腰三角形．注意第2小题中不要漏了某种情况．