Question

【题目】解答
（1）如图，在直线m的同侧有A，B两点，在直线m上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB﹣QA|最大（保留作图痕迹）

（2）平面直角坐标系内有两点A（2，3），B（4，5），请分别在x轴，y轴上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB﹣QA|最大，则点P，Q的坐标分别为 ，
（3）代数式 + 的最小值是 ， 此时x=
（4）代数式 ﹣ 的最大值是 ， 此时x= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：①作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B与直线m交于点P，此时PA+PB最小，点P如图所示．

②延长BA交直线m于Q，此时，|QB﹣QA|最大，点Q如图所示．

（2）（ ，0）；（0，1）
（3）10；
（4）2；﹣1
【解析】解（2）点A关于x轴的对称点A′（2，﹣3），
直线A′B的解析式为y=4x﹣11，y=0时，x= ，
所以点P坐标（ ，0）．
直线AB解析式为y=x+1，与y轴的交点为（0，1），
所以点Q坐标（0，1）．
所以答案是（ ，0），（0，1）
3）∵ + = + ，
欲求 + 的最小值，
可以看作在x轴上找一点P，使得点P到（4，5），（2，3）的距离之和最小，
由（2）可知x= ，最小值= =10，
所以答案是10， ．
4）∵ ﹣ ═ ﹣ ，
欲求 ﹣ 的最大值，
可以看作在x轴上找一点Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距离之和最大，
∵直线AB解析式为y=x+1，与x轴交于点Q（﹣1，0），
∴x=﹣1时，此时最大值=2 ．
所以答案是2 ，﹣1．
【考点精析】解答此题的关键在于理解轴对称-最短路线问题的相关知识，掌握已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．