Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+4k-6=0．
（1）试说明：无论k为何值时方程总有两个实数根；
（2）当方程两根的倒数和等于-1时，求k的值；
（3）若抛物线y=x²-（2k-1）x+4k-6与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＞0＞x₂，x₁-x₂＜6，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由关于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+4k-6=0的根的判别式的符号进行证明；
（2）由根与系数的关系x₁•x₂=2k-1，x₁+x₂=4k-6，以及

1

x1

+

1

x2

=-1联立即可求得k的值；
（3）根据题意列出关于k的不等式组

2k-3＜0 2-2k+3＜6

，通过解该不等式组即可求得k的取值范围．

解答：（1）△=（2k-1）²-4（4k-6）=（2k-5）²
∵（2k-5）²≥0，
∴△≥0，
∴无论k为何值，方程总有两个实数根；

（2）设方程的两根为x₁，x₂，由根与系数的关系及题意得：

x1+x2=2k-1 x1x2=4k-6 1 x1 + 1 x2 =-1

∴

2k-1

4k-6

=-1，
∴k=

7

6

；

（3）∵方程的两根为x=2或x=2k-3且x₁＞0＞x₂，
∴x₁=2，x₂=2k-3
由题意得：

2k-3＜0 2-2k+3＜6

解不等式组得-

1

2

＜k＜

3

2

所以，k的取值范围是-

1

2

＜k＜

3

2

．

点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及抛物线与x轴的交点．在确定（3）中x₁、x₂的值时，需要根据限制性条件“x₁＞0＞x₂”来确定．