题目内容
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)问题解决：
受到(1)的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF．
①求证：BE＋CF＞EF
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
(3)问题拓展：
如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连结EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
解析：
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证明：①延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG． (或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD) ∴CF＝BG DF＝DG ∵DE⊥DF ∴EF＝EG 在△BEG中，BE＋BG＞EG；即BE＋CF＞EF(4分)
②若∠A＝90°则∠EBC＋∠FCB＝90° 由①知∠FCD＝∠DBG EF＝EG ∴∠EBC＋∠DBG＝90°即∠EBG＝90° ∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2 ∴BE2＋CF2＝EF2(3分) (2)将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG. ∵∠C＋∠ABD＝180° ∠4＝∠C ∴∠4＋∠ABD＝180° ∴点E、B、G在同一直线上 ∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60° ∴∠1＋∠2＝60°故∠2＋∠3＝60°即∠EDG＝60° ∴∠EDF＝∠EDG＝60° ∵DE＝DE，DF＝DG ∴△DEG≌△DEF ∴EF＝EG＝BE＋BG，即EF＝BE＋CF(4分)
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暑假作业海燕出版社系列答案
