Question

已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x²+mx+4=0的两个正整数根之一，且另两边长为BC=4，AB=6，求cosA．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，根据根与系数的关系求出一元二次方程x²+mx+4=0的两根之积，由方程的两个正整数根估计出两根的值，再根据三角形的三边关系确定出AC的长，由等腰三角形的性质可求出AD的长，最后由锐角三角函数的定义解答即可．

解答：解：根据与系数的关系可知：
x₁•x₂=4，
又∵x₁、x₂为正整数解，
∴x₁，x₂可为1、4或2、2（2分）
又∵BC=4，AB=6，
∴2＜AC＜10，
∴AC=4，（5分）
∴AC=BC=4，△ABC为等腰三角形，
过点C作CD⊥AB，∴AD=3，（7分）
cosA=

AD

AC

=

3

4

．（8分）

点评：本题考查的是锐角三角函数的定义、一元二次方程根与系数的关系及等腰三角形的性质，涉及面较广，难度适中．