题目内容

如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（-2，2
3
），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=
1
2
，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．

（1）求∠CEF的度数和点D的坐标；
（2）求折痕EF所在直线的函数表达式；
（3）若点P在直线EF上，当△PFD为等腰三角形时，试问满足条件的点P有几个，请求出点P的坐标，并写出解答过程．
分析：（1）由条件可以求出EC=EB=1，根据轴对称的性质可以求出ED=1，利用三角函数值求出∠GED的度数，从而可以求出∠CEF的度数，利用勾股定理DG的值就可以求出D点的坐标；
（2）利用三角函数值求出CF的值，从而求出F的坐标，设出直线EF的解析式，直接利用待定系数法求出其解析式就可以了；
（3）如图2，根据等腰三角形的性质设出点P的坐标，由两点间的距离公式就可以求出点P的坐标．
解答：解：（1）∵E是BC的中点，
∴EC=EB=
2
2
=1．
∵△FCE与△FDE关于直线EF对称，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=
1
2
，
∴EG=EB-AH=1-
1
2
=
1
2
．
∵cos∠GED=
EG
ED
=
1
2
，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF=
120
2
=60°．
在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG2=ED2-EG2=1-
1
4
=
3
4

∴DG=
3
2

 DH=AB-DG=2
3
-
3
2
=
3
3
2

 OH=OA-AH=2-
1
2
=
3
2

故D（-
3
2
，
3
3
2
）

 （2）∵∠CEF═60°
∴CF=ECtan60°=
3

∴OF=OC-CF=2
3
-
3
=
3

∴F（0，
3
），E（-1，2
3
）
设EF所在直线的函数表达式为y=kx+b，由图象，得
  
3
=b
2
3
=-k+b
，
解得：
k=-
3
b=
3
   
故EF所在直线的函数表达式为：y=-
3
x+
3
；

（3）∵DF=CF=
3
点P在直线EF上，
∴当△PFD为等腰三角形时，有以下三种情况：
（a）P1F=DF=
3
，
可令P1（t，-
3
t+
3
），则：
P1F2=3
∴由两点间的距离公式为：
（t-0）2+（-
3
t+
3
-
3
）2=3
∴t2+3t2=3
∴t2=
3
4
，
∴t1=-
3
2
，t2=
3
2

∴P1（-
3
2
，
3
2
+
3
）； P3（
3
2
，-
3
2
+
3
）
（b） PD=DF=
3
时，
仍令P（t，-
3
t+
3
），注意D（-
3
2
，
3
3
2
），则：
PD2=3
∴（t+
3
2
）2+（-
3
t+
3
-
3
3
2
）2=3
∴t2+3t+
9
4
+3t2+3t+
3
4
=3
∴4t2+6t=0
∴t1=0，t2=-
3
2

∵t1=0对应F点，此时不构成三角形，故舍去．
∴P4（-
3
2
，
5
3
2
）
（c）当 PD=PF
仍令P（t，-
3
t+
3
），注意D（-
3
2
，
3
3
2
），F（0，
3
），则：
PD2=PF2
∴（t+
3
2
）2+（-
3
t+
3
-
3
3
2
）2=（t-0）2+（-
3
t+
3
-
3
）2，
∴t2+3t+
9
4
+3t2+3t+
3
4
=t2+3t2
∴6t+3=0
∴t=-
1
2

∴P4（-
1
2
，
3
3
2
）．
故满足条件的点P有4个．分别是：（-
3
2
，
5
3
2
）、（
3
2
，
3
-
3
2
）、（-
3
2
，
3
+
3
2
）、（-
1
2
，
3
3
2
）．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了轴对称的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用及等腰的三角形的性质的运用，在解答时求出直线EF的解析式时关键．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA、OC的长满足|OA-2|+(OC-2
3
)2=0．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BB′的解析式；
（3）在直线BB′上是否存在点P，使△ADP为直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=3，AB=2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A和点B，与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧），且OE=1，则下列结论：
①a＞0；②c＞3；③2a-b=0；④4a-2b+c=3；⑤连接AE、BD，则S梯形ABDE=9．
其中正确结论的个数为（　　）
（2013•昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（2012•浙江二模）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，A（0，3），C（4，0），点P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q，当△POQ为等腰三角形时，点P坐标为
P1（1，3），P2（7，3）
P1（1，3），P2（7，3）
．
（2012•淮安）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0）．将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135°，得到矩形EFGH（点E与O重合）．
（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM=
45
45
°，OM=
2
2
2
2
；
（2）将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位．
①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0＜t≤4
2
-2时，S与t之间的函数关系式．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网