Question

（1）在△ABC中，AB=m²-n²，AC=2mn，BCm²+n²=（m＞n＞0）．
求证：△ABC是直角三角形；
（2）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AD、BC的中点，若AB=m²-n²，CD=2mn，AD=n²，BC=m²+2n²，（m＞n＞0）．求证：EF=

1

2

（m²+n²）．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得出AB、AC、BC的表达式，然后分别平方可得出BC²=AB²+AC²，从而利用勾股定理的逆定理即可作出证明．
（2）过点E作EG∥AB交BC于点G，过点E作EH∥CD交BC于点H，判断出四边形ABGE是平行四边形，继而证明△EGH是直角三角形，结合条件得出点F是Rt△EGH的斜边GH上的中线，从而可证得结论．

解答：证明：（1）∵AB=m²-n²，AC=2mn，BC=m²+n²（m＞n＞0），
∴AB²=m⁴-2m²n²+n⁴，AC²=4m²n²，BC²=m⁴+2m²n²+n⁴，
∴BC²=AB²+AC²，
∴△ABC是直角三角形．

（2）过点E作EG∥AB交BC于点G，过点E作EH∥CD交BC于点H，
∵EG∥AB  AD∥BC
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AE=BG，EG=AB，
同理可证ED=HC，EH=CD，
∴AD=BG+HC，
∵AB=m²-n²，CD=2mn，AD=n²，BC=m²+2n²，
∴EG=m²-n²，EH=2mn，GH=m²+n²，
∴EG²+EH²=GH²，
∴△EGH是直角三角形，
又点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=DE，BF=CF，
∴BG=CH，
∴BF-BG=CF-FH，
∴GF=HF，
即点F是Rt△EGH的斜边GH上的中线，
∴EF=

1

2

GH，
∴EF=

1

2

（m²+n²）．

点评：此题考查了梯形、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，解答本题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理及平行四边形的性质．