把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起.使三角板DEF的锐角顶点D与三角扳ABC的斜边中点O重合.其中∠ABC=∠DEF=90°.∠C=∠F=45°.AB=DE=4.把三角板ABC固定不动.让三角扳DEF绕点O旋转.设射线DE与射线AB相交于点P.射线DF与线段BC相交于点Q. (1)如图1.当射线DF经过点B.即点Q与点B重合时.易证△APD-△CDQ.此时.AP·CQ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角扳ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角扳DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q。

（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD～△CDQ。此时，AP·CQ=______。
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为a．其中 0°<a<90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由。
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式。（图2，图3供解题用）

解：（1）8；（2）AP·CQ的值不会改变。理由如下：在与中，，，，即，，，。
（3）情形1：如图4，当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过D作于G，于N，，由（2）知：，即，于是；情形2：如图5，当时，即，此时两三角板重叠部分为，由于，，易证：，即，解得：，，于是，　综上所述，当时，；当时，或。