题目内容
（2013•营口）如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=1，AC=
| 10 |
分析：（1）连接OC．先由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO，再由切线的性质得出OC⊥CD，根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD∥CO，由平行线的性质得∠DAC=∠ACO，等量代换后可得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；
（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂径定理求出AE=
，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△ADC，由相似三角形对应边成比例得到
=
，求出AO=
，即⊙O的半径为
；解法二：如图2②，连接BC．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ABC∽△ACD，由相似三角形对应边成比例得到
=
，求出AB=
，则⊙O的半径为
．
（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂径定理求出AE=
| ||
| 2 |
| AE |
| AD |
| AO |
| AC |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| AC |
| AD |
| AB |
| AC |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
解答：
（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠BAD；
（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．
在Rt△ADC中，AD=
=
=3，
∵OE⊥AC，
∴AE=
AC=
．
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴
=
，即
=
，
∴AO=
，即⊙O的半径为
．
解法二：如图2②，连接BC．
在Rt△ADC中，AD=
=
=3．
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴
=
，
即
=
，
∴AB=
，
∴AO=
AB=
×
=
，
即⊙O的半径为
．
（1）证明：连接OC．∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠BAD；
（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．在Rt△ADC中，AD=
| AC2-DC2 |
(
|
∵OE⊥AC，
∴AE=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴
| AE |
| AD |
| AO |
| AC |
| ||||
| 3 |
| AO | ||
|
∴AO=
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
解法二：如图2②，连接BC．在Rt△ADC中，AD=
| AC2-DC2 |
(
|
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴
| AC |
| AD |
| AB |
| AC |
即
| ||
| 3 |
| AB | ||
|
∴AB=
| 10 |
| 3 |
∴AO=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
即⊙O的半径为
| 5 |
| 3 |
点评：本题考查了等腰三角形、平行线的性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
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