Question

【题目】如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。设∠OCP的度数为x°，∠CDP的度数为y°。

小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，

下面是小明的探究过程，请补充完整；

（1）x的取值范围是 ；

（2）按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；

（3）在平面直角坐标系xOy中，

①描出表中各组数值所对应的点(x，y)；

②描出当x＝120°时，y的值；

（4）若∠AOB＝°，题目中的其它条件不变，用含、x的代数式表示y为 。

Answer 1

【答案】（1）40°<x<140°；（2）见解析；（3）①见解析，② x＝120°时，y的值是40；（4）y=（x-a）.

【解析】

（1）根据角平分线和三角形外角的性质，可得∠CPB=40°+ x°，∠DPB=（40°+ x°） ，当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于40°，且∠CPB是△COP的外角，一定小于180°，即可得出x的取值范围；

（2）根据角平分线和三角形外角的性质列出y与x的关系式，分别计算求值即可；

（3）在平面直角坐标系xOy中描出各点即可；

（4）根据角平分线和三角形外角的性质即可求解.

（1）∵∠CPB是△COP的外角，

∴∠CPB=40°+ x°，∠CPB一定小于180°，

即40°+ x°<180°，x<140°，

∵PD平分∠CPB，

∴∠DPB=∠CPB =（40°+ x°） ，

∵当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于40°，即（40°+ x°）>40°，解得x>40°，

∴x的取值范围是40°<x<140°；

（2）∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+ y°，∠DPB=（40°+ x°） ，

∴40°+ y°=（40°+ x°） ，即y=x-20,

x=60时，y=x-20=×60-20=10，

x=70时，y=x-20=×70-20=15，

x=80时，y=x-20=×80-20=20，

x=90时，y=x-20=×90-20=25，

补全表格如下：

；

（3）①②如图：

x=120时，y=x-20=×120-20=40；

（4）∵∠DPB=∠AOB+∠CDP，∠AOB＝°，∠CDP的度数为y°，

∴∠DPB=°+ y°，

∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝°，∠OCP的度数为x°，

∴∠CPB=°+ x°，

∵PD平分∠CPB，

∴∠DPB=∠CPB=（°+ x°） ，

∴°+ y°=（°+ x°），即y=（x-a）.