Question

（1）如图1，在?ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA=AB．
（2）如图2，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

2

cm，①求∠BAC的度数； ②求⊙O的周长．

Answer 1

分析：（1）由ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，由FB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到两对内错角相等，又E为AD的中点，得到AE=DE，利用AAS可得三角形AEF与三角形ECD全等，根据全等三角形的对应边相等可得AF=DC，又AB=DC，等量代换可得FA=AB；
（2）由同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC，由∠BDC的度数求出∠BAC的度数，可得∠ACB与∠BAC的度数相等，都为60°，可得三角形ABC为等边三角形，由O为三角形的外心，可得O为三边垂直平分线的交点，根据三线合一得到的O为三内角角平分线的交点，连接AO并延长交BC与M，连接OC，在直角三角形OMC中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得OC=2OM，又OA=OC，可得AO=2OM，表示出OM，在直角三角形ACM中，利用勾股定理求出AM的长，由AM=AO+OM，把表示出OM代入，得到关于OA的方程，求出方程的解得到OA的长，即为圆的半径，即可求出圆的周长．

解答：解：（1）∵ABCD为平行四边形，
∴FB∥DC，AB=CD，
∴∠F=∠DCE，∠FAE=∠D，
又E为AD的中点，∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，

∠F=∠DCE ∠FEA=∠D AE=DE

，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴FA=CD，
∴FA=AB；

（2）∵圆周角∠BAC与∠BDC所对的弧都为

BC

，
∴∠BAC=∠BDC，又∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°；
连接AO，并延长与BC交于M，连接OC，
则AM⊥BC，
∵∠ACB=∠BAC=60°，∴∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，又AC=2

2

cm，
∴M为BC的中点，即CM=BM=

1

2

BC=

2

cm，CO为∠ACB的平分线，即∠MCO=∠AOC=30°，
在Rt△AMC中，根据勾股定理得：AM=

AC2-CM2

=

6

cm，
在Rt△MOC中，OM=

1

2

OC，又OA=OC，
∴OM=

1

2

OA，
∴AM=OA+OM=OA+

1

2

OA=

3

2

OA=

6

cm，
可得：OA=

2 6

3

cm，
则圆O的周长为2πr=

4π 6

3

cm．

点评：此题考查了圆周角定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角直角三角形的性质，以及勾股定理，根据题意判定出△ABC为等边三角形是解第二问的关键．