Question

如图，直径AB=12cm，AM、BN是⊙O的切线，切点分别为A、B．
（1）若AD=4cm，DC是⊙O的切线，切点为E，求BC的长．
（2）若一只蚂蚁从B点出发沿BA方向走到G点，速度为每秒4cm；同时另一只蚂蚁也从B点出发沿BN方向走到H点，速度为每秒3cm，连接GH，求经过多少秒后，GH与⊙O相切（结果保留根号）．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，即线段BC与已知线段AD间的数量关系；
（2）设经过t秒后，GH与⊙O相切．如备用图，过点A作AD⊥AB交GH于点C，构建相似三角形△GAD∽△GBH，则对应边成比例：

GA

GB

=

AD

BH

，即

4t-12

4t

=

AD

3t

，①
由（1）知，当GH与⊙O相切时，BH=

36

AD

，即3t=

36

AD

②，根据①②即可求得t的值．

解答：解：作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠A=∠B=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）²=（x-y）²+12²，
整理为y=

36

x

，即BC=

36

4

=9（cm），即BC的长度为9cm；

（2）设经过t秒后，GH与⊙O相切．
如备用图，过点A作AD⊥AB交GH于点C．
∵BN是⊙O的切线，
∴BN⊥AB，
∴AD∥BH，
∴△GAD∽△GBH，
∴

GA

GB

=

AD

BH

，即

4t-12

4t

=

AD

3t

，①
由（1）知，当GH与⊙O相切时，BH=

36

AD

，即3t=

36

AD

，②
由①②解得t=4或t=-1（舍去）．
所以，当经过4秒后，GH与⊙O相切．

点评：本题考查了圆的综合题．其中涉及到了矩形的判定与性质，勾股定理，切线的性质．解答（2）题时，可以直接利用（1）中的函数关系式．