题目内容
【题目】在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．
【答案】
（1）解：在矩形ABCD中，
∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，则PB= 
，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴ 
= 
，即 
= 
，
∴PC=2
（2）解：①tan∠PEF的值不变．
理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，
则四边形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GPF，
∴ 
= 
= 
=2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF= =2，
∴tan∠PEF的值不变；
②设线段EF的中点为O，连接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP= EF，
在Rt△EBF中，OB= EF，
∴OP=OB= EF，
∴O点在线段BP的垂直平分线上，
∴线段EF的中点经过的路线长为O1O2= PC=
【解析】1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）①tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；
②如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对三角形中位线定理的理解，了解连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
