题目内容
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G，且MB=MG．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴
，
，∵BD平分∠ABC，∴
，∴
，∵DE⊥AB于点E，∴
，∴
，∴△BCE是等边三角形
（2）AD = DG＋DM
（3）AD = DG－DN
解析试题分析：（1）要证明△BCE是等边三角形，首先要知道BC和BE相等，由于已给出，所以要证明，只需证明，利用题目中给出的数据，可以很容易求出。（2）由于
，且
，所以△MGB是等边三角形，做GF交DB于点F，所以△DFG为等边三角形，所以
，又
，
，所以△MDG≌△BFG，所以
，又
，
，而
，所以
（3）延长BD至H，使得
，由（1）得
，
，∵DE⊥AB于点E，∴
，∴
，∴△NDH是等边三角形，∴
，
，∴
，∵
，∴
，即
，在△DNG和△HNB中，
，
，
，∴△DNG≌△HNB，∴DG=HB，∵HB=HD＋DB=ND＋AD，∴DG= ND＋AD，∴AD = DG－ND
考点：其中一个锐角为30度的直角三角形的特殊性
点评：本题较为复杂，第一问通过直角三角形的特殊性，可以较容易解出来
练习册系列答案
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已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求⊙O的半径．
如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，点D是AB的中点，点O是△ABC的重心，则OD的长为（ ）在Rt△ABC中，已知a及∠A，则斜边应为（ ）
| A、asinA | ||
B、
| ||
| C、acosA | ||
D、
|
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD：BD=9：4，则AC：BC的值为（ ）| A、9：4 | B、9：2 | C、3：4 | D、3：2 |